באז אולדרין נולד ב-20 בינואר 1930 בשם אדווין יוג'ין אולדרין הבן בגלן רידג', ניו ג'רזי. הכינוי "באז" ניתן לו בילדות על ידי אחת מאחיותיו, ששיבשה את המילה Brother ("אח") ל-Buzzer ("זמזם"). בהמשך קוצר הכינוי ל-Buzz, וב-1988 אולדרין שינה את שמו לבאז באופן רשמי. לאמו, אגב, קראו Marion Moon (מילולית, "מריון ירח").
בתום לימודי התיכון דחה אולדרין מלגה מלאה מהמכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס (MIT) לטובת קריירה צבאית, כמו אביו וסבו מצד אמו. ב-1951 סיים את לימודיו באקדמיה הצבאית של ארה"ב בווסט פוינט וגויס כטייס קרב למלחמת קוריאה. בתום המלחמה שירת כמדריך בבסיס חיל האוויר "נליס" בנבדה והוצב בבסיס חיל האוויר של נאט"ו בביטבורג, מערב גרמניה.
ב-1963, ובשליחות חיל האוויר, השלים דוקטורט ב-MIT. נושא הדוקטורט של אולדרין היה שיטות למפגש ולעגינה מאוישות בחלל. "בתקווה שעבודה זו תתרום בדרך כלשהי לחקר החלל", כתב בהקדשה, "עבודה זו מוקדשת לחברי הצוות בתוכניות החלל הנוכחיות והעתידיות של מדינה זו. לו רק יכולתי להצטרף אליהם במאמציהם המרגשים!".
באותה שנה הגשים את חלומו כשנבחר למחזור האסטרונאוטים השלישי, זאת למרות שלא היה טייס ניסוי כשאר האסטרונאוטים. באז, הראשון בחבורה שהשלים דוקטורט, נודע בשם Dr. Rendezvous (מילולית, ד"ר מפגש), כשם נושא התמחותו. שיטות הפגישה והעגינה בחלל שהציע במחקרו שימשו את תוכנית החלל השניה של ארה"ב, ג'מיני, שכללה עשר טיסות בין 1962 ל-1966 שהכינו את נאס"א לקראת תוכנית אפולו. בנוסף, הצוללן החובב אולדרין היה הראשון שהציע צלילה מתחת למים כדרך לדמות הליכה ועבודה בחלל – שני מבחנים שהוא בעצמו עמד בהם בהצלחה כעבור שלוש שנים במשימת ג'מיני 12.
ב-11 בנובמבר 1966 שוגרה לחלל ג'מיני 12, כשעל סיפונה האסטרונאוטים ג'יימס לוול ובאז אולדרין. ג'מיני חברה בהצלחה לרכב היעד אג'ינה, ולאחר מכן יצא אולדרין לפעילות חוץ-רכבית. אולדרין אמנם לא היה הראשון שיצא להליכת חלל, אבל הוא היה הראשון שעבד בחלל. לא זאת בלבד שהוא קבע שיא עולמי חדש להליכות חלל של שעתיים ו-29 דקות, ואף צילם את ה"סלפי" הראשון מחוץ לכדור הארץ, אולדרין הוכיח שניתן לתקן ציוד מחוץ לחללית, בחלל הפתוח.
האדם השני על הירח
ב-20 ביולי 1969 עשה אולדרין היסטוריה כשהיה לאדם השני שדרך על הירח באפולו 11. אולדרין יצא מרכב הנחיתה הירחי 19 דקות אחרי מפקד המשימה ניל ארמסטרונג. "נוף יפיפה", היו המילים הראשונות של אולדרין על הלבנה. "נכון שזה מפואר?" שאל אותו ארמסטרונג. "שממה מפוארת", השיב אולדרין.
חברם מייקל קולינס, שנשאר להקיף את הירח מתא הפיקוד, העיר בדיעבד שאולדרין כעס על כך שלא היה הראשון על הירח יותר מכפי שהוא העריך את הזכות הגדולה שנפלה בחלקו להיות השני.
ב-1995 החליטה חברת פיקסאר לכבד את אולדרין, כמי שזכה לתהילה מועטה יחסית לארמסטרונג, כשהנציחה את פועלו בדמות "באז שנות-אור" בסרטי "צעצוע של סיפור". אולדרין עצמו תרם את דמותו ואת קולו למספר סדרות וסרטים, כגון "המפץ הגדול", "רוק 30", "רוקדים עם כוכבים", "משפחת סימפסון" ו"פיוצ'רמה".
אולדרין פרש מנאס"א ב-1971, ובמשך שנים רבות התמודד עם אלכוהוליזם. ב-1968, שנה לפני שיגור אפולו 11, התאבדה אמו מריון מון, כמו אביה לפניה. לטענתו, האם והסב סבלו מדיכאון קליני, שהוא עצמו ירש מהם וניסה להקהות באמצעות השתייה. על ההתמודדות הקשה סיפר אולדרין בגילוי לב בשתי האוטוביוגרפיות שכתב, "חזרה לכדור הארץ" (1973) ו"שממה מפוארת" (2009).
בניגוד לחברו ארמסטרונג – אולדרין מעולם לא נחבא אל הכלים, ולאורך השנים הביע את דעותיו במספר נושאים מעוררי מחלוקת. בין היתר, הוא הטיל ספק בתרומת האדם להתחממות הגלובלית וכן מתח ביקורת על כוונת נאס"א לשוב לירח, בטענה שהיעד הבא צריך להיות מאדים.
אולדרין נחשב לדמות צבעונית וחסרת מנוחה בקהילת החלל. ב-2008, אולדרין בן ה-86 הפך לאדם המבוגר ביותר שביקר באנטרקטיקה – ביקור שנגמר בפינוי רפואי. ואילו ב-2017, בגיל 87, האדם השני שהלך על הירח צעד על מסלול שבוע האופנה של ניו יורק. על הטי-שירט שלבש נכתב: Get Your Ass To Mars ("תזיזו את התחת שלכם למאדים") – עקיצה שכוונה, שוב, כלפי נאס"א.
אולדרין אף ביקר מספר פעמים בישראל, ותמך בתעשיית החלל המקומית. ב-2015, כשביקר בכנס האסטרונאוטיקה הבינלאומי של סוכנות החלל הישראלית, הפגין את חוש ההומור שלו כשאמר לנוכחים: "הסיבה שניל יצא ראשון – כי הוא היה קרוב יותר לדלת".